微小体積での水の出入りを考え、もう少し発散(div)について考えてみましょう。

　

　

図に示すような微小体積を考えます。

A面dx×dyの微小部分から流れ込む流量は単位時間に、

　

　

となります。

一方、B面から出ていく流量は、

　

　

となります。

従って、z方向の上面から出ていく水の量と下面から入ってくる水の量の差は、

　

　

となります。

これと同様に左右、上下すなわちx方向、y方向の差引の総和ΔQは、

　

　

となります。

ここで、偏微分の定義から、

　

　

ですから、

　

　

となり、水量はdiv vが何らかの数値を持てば、単位体積から湧き出していることを示すことになります。

つまり、div vは微小体積の湧き出し量を示していることがわかると思います。

　

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