<3.6 発散の計算例>
ここで発散の計算例として、水が原点で湧きだし、四方八方に広がって流れている場合を考えてみましょう。
空間上の速度ベクトル場が
C:比例定数
で表されているとします。
ここで、erは図に示す単位ベクトルです。
r:動径
er :動径方向の単位ベクトル
ここで、図に示すように幾何学的関係と質量保存則から、
となりますから、
で示されるように、距離の二乗に反比例することは明かです。
ここで、vの発散(div)を求めてみましょう。
vは改めてx、y、zで表せば、
ですから、
となります。
ここで第1項のxの偏微分は、
となります。同様に、第2項、第3項のy、zの偏微分は、
となります。従って、
となり、原点以外ではゼロになります。
すなわち湧き出しはないと言うことになります。
これは、質量保存則から考えてもあきらかです。