さて、いよいよベクトル解析です。

ベクトル解析でガウスの発散定理までたどり着ければFEMについての数学知識は一区切りがつきます。

そして、FEMにおける定式化がだいぶわかるようになるでしょう。

　

まず、ベクトル解析で出てくるのが勾配(gradient)です。

勾配(gradient)とはスカラーの関数からベクトルの関数(ベクトル場)を作り出す演算になります。

　

　

図に示すような位置(x,y)での山の高さがh(x,y)となっているような関数を考えてみましょう。

この関数の勾配、つまり山の高さの最大傾斜を表す方法を考えてみましょう。

まず、この関数h(x,y)の位置(x,y)でのy方向の傾きを考えるとy方向だけの変化量を考えればいいですから、

　

　

となり、偏微分で表すことができます。

しかし、これではy方向だけの傾きしか表すことができず、最大の傾斜を表すことができません。最大傾斜を表すには少し工夫が必要です。

x、y方向に限らず最大傾斜を表すのがgradです。

そして、そのgradは次のように表されます。

　

のとき

のとき

　

ここで、i、j、kはx、y、z方向の単位ベクトルを示します。

式からわかるように、x方向とy方向の傾斜の大きさをベクトルで表したものが最大傾斜となり、gradすなわち勾配です。

これは、感覚的にわかりますね。

　

さて、このgradと位置r(x,y)を使ってfの全微分を表すと、

　

　

と表すことができます。

ここで、

　

　　　　　　　　

　　　　　 　

　　　　

　

ですからは、

　

　

となり、gradと位置r(x,y)での微小変位方向drの内積で関数fの全微分を表すことができるわけです。

一方、行列で表すと、

　

　

となります。

　

ここで、再びfを高さの関数hとして考えてみると、全微分dhは、

　

　

と表され、drすなわち微小ベクトルの方向によって大きさが変わり、gradfとの内積になっています。

つまり、向いている方向によってdhすなわち高さの変化量、つまり傾きは代わり、その元はgradfによって決まっているというわけです。

　

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