3.1 偏微分と勾配(grad)>
 
さて、いよいよベクトル解析です。
ベクトル解析でガウスの発散定理までたどり着ければFEMについての数学知識は一区切りがつきます。
そして、FEMにおける定式化がだいぶわかるようになるでしょう。
 
まず、ベクトル解析で出てくるのが勾配(gradient)です。
勾配(gradient)とはスカラーの関数からベクトルの関数(ベクトル場)を作り出す演算になります。
 
 
図に示すような位置(x,y)での山の高さがh(x,y)となっているような関数を考えてみましょう。
この関数の勾配、つまり山の高さの最大傾斜を表す方法を考えてみましょう。
まず、この関数h(x,y)の位置(x,y)でのy方向の傾きを考えるとy方向だけの変化量を考えればいいですから、
 
 
となり、偏微分で表すことができます。
しかし、これではy方向だけの傾きしか表すことができず、最大の傾斜を表すことができません。最大傾斜を表すには少し工夫が必要です。
xy方向に限らず最大傾斜を表すのがgradです。
そして、そのgradは次のように表されます。
 
のとき
のとき
 
ここで、ijkxyz方向の単位ベクトルを示します。
式からわかるように、x方向とy方向の傾斜の大きさをベクトルで表したものが最大傾斜となり、gradすなわち勾配です。
これは、感覚的にわかりますね。
 
さて、このgradと位置r(x,y)を使ってfの全微分を表すと、
 
 
と表すことができます。
ここで、
 
        
       
    
 
ですからは、
 
 
となり、gradと位置r(x,y)での微小変位方向drの内積で関数fの全微分を表すことができるわけです。
一方、行列で表すと、
 
 
となります。
 
ここで、再びfを高さの関数hとして考えてみると、全微分dhは、
 
 
と表され、drすなわち微小ベクトルの方向によって大きさが変わり、gradfとの内積になっています。
つまり、向いている方向によってdhすなわち高さの変化量、つまり傾きは代わり、その元はgradfによって決まっているというわけです。
 
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