2.25 極座標の微分方程式>
 
今度は惑星の運動方程式を極座標を利用して解いてみましょう。
 
 
図に示すように、惑星の運動方程式は太陽の質量Mと惑星の質量mからなる万有引力で記述され、以下のようになります。
 
力の大きさ:
万有引力ベクトル:
運動方程式:
 
運動方程式を極座標ベクトルで表すと
 
 
より
 
 
よって、ereθに分離して
 
...@
...A
 
となります。
 
まず、ケプラーの第2法則、面積速度一定の法則(惑星と太陽とを結ぶ線分が単位時間に描く面積は、一定である)について考えてみましょう。
この法則は図に示すように、dtの間に太陽と惑星の描く面積(図の斜線の部分)は一定であるという法則です。
 
 
図に示すように太陽と惑星の描く微小面積dSは、
 
 
となります。
面積速度はですから、
 
 
ということになります。
両辺を微分すると、
 
 
となります。
ここで、A式よりですから、上の式は
 
 
になり、
 
 
積分すれば、面積速度がC、すなわち一定であることが証明されました。
 
次に、ケプラーの第1法則、楕円軌道の法則(惑星は、太陽をひとつの焦点とする楕円軌道上を動く)について考えてみましょう。
面積速度一定よりそれをとおくと、
 
 
と書けるので@式に代入し、
 
...@
...B
 
となります。
一方、面積速度一定から、
 
 
です。これを利用して、
 
...C
 
となりますから、BとC式より、
 
 
となるので、とおくと
 
 
となります。
ここで、微分公式
 
 
より
 
 
であるので、これを代入して、
 
 
となります。
ここで、GMは定数であるので、ですから、
 
 
とおくと
 
 
となり、単振動と同じ式になります。従って
 
 
の解を持ち
 
 
と書くことが出来ます。
ここで、とおくと
 
 
となり、より
 
 
となり、
 
 
は楕円の極座標表示そのものとなりますから、楕円軌道であることが証明されました。
かなりごちゃごちゃしてわかりにくいように見えますが、多少の微分の公式と置き換えにより計算しているだけです。
 
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