2.20 曲線座標による面積分>
 
曲面上の面積分については前にも出てきましたが、ここではもう少し一般的な場合について考えてみましょう。
 
 
図に示すような一般的な曲線座標(u,v)が、元の直交座標(x,y)と次のような関係にあったとします。
 
 
ここで、微小部分の面積は微小ベクトルdr1dr2の外積の大きさで表すことができます。
ABベクトルの外積の大きさはその定義から
 
 
で、ABベクトルで作られる平行四辺形の面積であったことを思い出して下さい。
一方、dr1dr2 は次のように表されますから、
 
 
微小部分の面積dSは、
 
    
となります、kは単位ベクトルで向きはdr1dr2により決まる右ネジの方向です。
dudv0ですから、
 
 
となります。
ここで、22列の外積は、
 
       
ですから、dSを行列式で書くと、
 
 
と書くことができます。
 
ここではヤコビアン(関数複行列)といい
 
 
と書き表されます。
従って、曲線座標の面積分は
 
 
となります。
 
曲線座標(u,v)が極座標であるとすると
 
 
ですから、
 
 
ですので、ヤコビアンは
 
となり、微小面積dSは、
 
 
前に出てきた円筒座標系の面積分のところで出てきた微小面積と同じ結果になります。
 
これでFEMでよく出てくるヤコビアンとは、座標変換が関係する計算だということがわかると思います。
 
ここでヤコビアンについてもう少し付け加えると、
一般にあるn次元ベクトル(A1、・・・、An)がm個の変数u1、・・・、umの関数であるとき
 
 
をヤコビ行列といい、この行列の(ij)成分ujを変化させたときのAiの変化を表しています。
ヤコビ行列が正方行列nmのとき、ヤコビ行列の行列式をヤコビアンと呼びます。
 
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