＜2.17 曲面上の面積分＞
ここでは、同じ面積分ですが曲面上の面積分について考えてみましょう。
図に示すように面密度が
の曲がった板の質量を考えます。
微小面積ΔSの質量ΔMは、
となります。
ここで、曲面上に取った座標をu、vとすれば、
となります。
これはただ平面上の面積分でx、yだったものを形式的にu、vにしただけですので話は簡単だと思います。
ところが、一般的にこのx、yからu、vへ変換するというのがなかなかやっかいです。
ここでは、球面の場合を例にとって考えてみましょう、
球面座標系のr、θ、φを考えると、直交座標系のx、y、zとの関係は、
ですから、図に示すような球面座標系の面積分を考えると、
微小部分はΔSは、
面密度を
とすれば、
となります。
形式的には、
と置き換えていることだということがわかります。
単純に、
としているのではないことに注意が必要です。
